Les communications sans fil dans l’ère du monde.
Les télécommunications sont devenues indispensables dans notre vie quotidienne. Cet échange numérique d’informations se fait par le biais de canaux de communication comme le câble, la fibre optique, le Wifi, les satellites, etc. Ces canaux ne sont pas tous fiables à 100%, ils sont soumis à des perturbations qui peuvent altérer l’information qui les traverse. Pour résoudre ce problème, on utilise des codes correcteurs d’erreurs.
Quels sont les chiffres les plus utilisés ?
Simon Newcomb, un astronome et mathématicien du XIXème siècle, avait remarqué que les tables de logarithmes étaient plus usées au niveau des premières pages. Il en a déduit que les nombres qui nous entourent commencent par un premier chiffre plus souvent petit que grand. Il a postulé une loi de répartition de ces premiers chiffres significatifs (Cf. illustration graphique) et a publié son travail en 1881. Ce phénomène a été indépendamment redécouvert et approfondi par le physicien Franck Benford en 1938. Benford a mené un travail minutieux de collecte de données de diverses sources (numéros de rue de personnes tirées au hasard dans l’annuaire, hauteurs d’immeubles, nombres lus dans le magazine Reader’s Digest). Beaucoup de ces jeux de données semblaient distribués selon la loi de répartition, mais pas tous. Le plus frappant, c’était que l’union de ces jeux de données collait quasi parfaitement, elle, à cette loi.
Gerhard Kremer.
Nova et acuta orbis terrae descriptio ad uso navigantium emendata accomodataque (une description nouvelle et précise de la Terre corrigée pour les navigateurs).
Gerhard Kremer, né en Flandres en 1512, s’intéressait à tout : philosophie, théologie, géographie, mathématiques, astronomie, gravure, calligraphie, etc. En 1544, il fut emprisonné pour hérésie. En 1569, il publia la carte du monde qui a rendu son nom célèbre.
Comment ? Vous ne connaissez pas la carte de Kremer ? C’est parce qu’il a latinisé son nom, qui signifie « marchand », en Mercator. Vous connaissez la carte de Mercator ? Bravo ! Cette carte est un véritable symbole de l’époque des grandes découvertes.
Éléphants au bain.
En dépit de restrictions sur le commerce de l’ivoire, de nombreuses populations d’éléphants d’Afrique sont menacées par le braconnage. Cette activité peut être constatée lors de saisies d’ivoire par la douane aux aéroports. La question est alors d’identifier l’origine géographique de l’ivoire saisi, dans l’espoir de remonter aux coupables, ou tout au moins de surveiller plus fortement les activités illégales dans ces régions. Pour cela, l’ADN présent dans l’ivoire saisi est prélevé et comparé à l’ADN d’éléphants d’Afrique d’origine géographique bien identifiée.
Exemple d’évolution à long terme des orbites des planètes telluriques : Mercure (blanc), Vénus (vert), Terre (bleu), Mars (rouge). Le temps est indiqué en milliers d’années (kyr).
A la fin de son Traité d’Optique, Newton affirmait que Dieu devait de temps à autre remettre en ordre un système solaire que les influences mutuelles des planètes (et aussi des comètes) finissaient par déranger. Cette affirmation fut alors combattue par Leibniz comme incompatible avec la perfection de Dieu. A partir du 18ème siècle apparurent plusieurs démonstrations mathématiques de stabilité du système solaire, qui différaient dans l’ordre d’approximation et donc dans l’ordre de grandeur des temps pendant lesquels elles gardaient une pertinence pratique.
La réunion de trois disciplines (l’écologie mathématique, le génie chimique et le génie biologique) permet d’améliorer le recyclage des eaux usées pour l’agriculture.
Le pourtour méditerranéen souffre d’un manque d’eau aggravé par un des taux de croissance de population les plus importants au monde. Pour tenter de résoudre ce problème, des membranes filtrantes sont adaptées à des réacteurs biologiques afin de recycler les eaux usées pour l’irrigation des cultures. Des modèles mathématiques développés par des équipes euro-méditerranéennes contribuent à améliorer ces systèmes.
Alexis Clairaut.
Aujourd’hui nous fêtons le tricentenaire de la naissance d’Alexis Clairaut (1713-1765). Sa notoriété est presque aussi précoce que celle de Mozart : il lit son premier mémoire à l’Académie des sciences alors qu’il n’a pas treize ans, pour y entrer « finalement » à dix-huit ans. L’âge légal minimum pour entrer dans cette institution étant de 20 ans, le Roi, pour la première fois, lui donne une dispense spéciale ! Ce grand mathématicien contribue à fonder la théorie des « courbes gauches » (courbes qui ne restent pas dans un plan), puis étudie les équations différentielles. Il réussit enfin à faire cadrer la théorie du mouvement de la Lune avec celle de la gravitation et connaît probablement sa plus grande gloire « médiatique » en prédisant le retour de la comète de Halley pour avril 1759, avec une incertitude d’un mois seulement.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Carl Friedrich Gauss est connu en tant que physicien (son nom a été donné à l’unité de champ magnétique du système CGS), mais aussi en tant que mathématicien et parmi les plus grands. Il a également contribué au développement de l’astronomie (il a dirigé l’observatoire d’astronomie de Göttingen de 1807 jusqu’à sa mort) et de la géodésie.
Gauss a commencé très jeune à s’intéresser à la géodésie. Il s’agissait tout d’abord d’établir une carte détaillée de la Westphalie en réponse à une demande des autorités militaires. Gauss a ainsi participé à plusieurs expéditions géodésiques entre 1800 et 1805. Plus tard, en 1818, le gouvernement a financé son projet de triangulation de la région de Hanovre, dont Göttingen faisait partie. La méthode de triangulation permet de mesurer la distance entre deux lieux masqués l’un à l’autre et s’avère ainsi indispensable à toute représentation cartographique précise. Gauss a élaboré un programme de travail serré qui prévoyait les travaux sur site en été et l’analyse des données recueillies en hiver. Le travail ne s’est achevé qu’en 1847 : pendant cette trentaine d’années, Gauss a effectué plus d’un million de calculs !
Le ruissellement de l’eau à la surface de ce champ a érodé le sol et arraché des plants.
Les inondations et les coulées boueuses peuvent avoir un impact majeur sur les infrastructures créées par l’Homme. Mieux savoir les modéliser pourrait permettre d’aménager les zones affectées, par exemple avec des bandes enherbées, afin de limiter les conséquences des événements à venir.
L’imagerie cérébrale a fortement évolué ces dernières années.
Les mathématiques interviennent dans plusieurs domaines des sciences médicales et notamment celui de l’imagerie, qui englobe des techniques se référant à l’échographie, le scanner, les rayons X ou l’IRM. Le principe qui sous-tend ces techniques est la recherche des causes ayant été à l’origine d’un phénomène, connaissant les effets qu’il engendre. C’est une conception qui est inverse au principe de la causalité introduit par Newton en 1687 dans Philosophiae Naturalis Principia Mathematica et qui consiste à déterminer les effets d’un phénomène en connaissant ses causes. La démarche utilisée dans ce principe inverse consiste à envoyer des signaux (de nature acoustique, électrique, magnétique, électromagnétique, etc.) sur un système et, en analysant les signaux sortants ou réfléchis, en déduire des informations sur ce système. Cette description parait assez simple à comprendre mais les problèmes que l’étude de tels phénomènes génère présentent d’énormes difficultés. Du point de vue mathématique, ces problèmes constituent une classe spécifique qu’on appelle problèmes inverses, à l’instar du principe qui les sous-tend. On rencontre de tels problèmes dans d’autres champs scientifiques, par exemple en sismologie; il s’agit de localiser l’origine d’un tremblement de terre à partir de mesures faites par plusieurs stations sismiques réparties sur la surface du globe terrestre.
Évolution d’une population pour un trait mono-dimensionnel. Répartition par traits en fonction du temps (haut) et population totale en fonction du temps (bas).
La théorie de l’évolution darwinienne a récemment fêté ses 150 ans. Initialement controversée, elle occupe aujourd’hui une place centrale en biologie, expliquant l’apparition et le développement des espèces jusqu’à nos jours. Il peut être intéressant de disposer de modèles mathématiques qui rendent compte de l’évolution d’un écosystème suivant les principes darwiniens. On comprend vite que ceci est hors de portée d’un point de vue mathématique sur de grandes échelles de temps. Mais la théorie de l’évolution joue également un rôle important sur de plus petites échelles, en expliquant par exemple comment des agents microbiens (notamment les bactéries) s’adaptent à de nouvelles conditions ou encore comment des cellules tumorales réagissent à un milieu pauvre en oxygène. Dans ce cadre restreint, des modèles mathématiques peuvent être proposés et ont été effectivement développés.
La Terre aurait pu avoir cette forme asymétrique.
Quel lien entre les SMS et la cristallisation ?
Imaginons le modèle de communication suivant. Deux personnes souhaitent s’envoyer des SMS : on dira qu’elles sont en interaction (c’est-à-dire en relation). On peut considérer que si elles sont trop proches, l’intérêt d’un envoi de SMS est négatif (contre-productif) et qu’elles feraient mieux de se parler directement. Ensuite, quand la distance entre elles augmente, l’intérêt commence par croître puis diminue considérablement et devient très vite nul, les opérateurs téléphoniques n’étant par exemple plus compatibles.
Transition des tresses aux méandres pour une rivière en Asie.
Les plateaux, les plaines et les montagnes sont des reliefs creusés par des rivières qui façonnent le paysage au cours du temps. Plusieurs questions se posent alors : les rivières continuent-elles à creuser ces reliefs ? Quelles doivent être leur largeur et leur pente pour rejoindre la mer ? Quelles sont les chances pour qu’une ville construite à proximité d’un cours d’eau soit inondée, ou, au contraire, pour que la rivière disparaisse ? Enfin, il existe dans le paysage deux types distincts de rivières, des rivières en tresses (avec plusieurs chenaux) et des rivières en méandres (avec un seul chenal), une rivière donnée pouvant passer des tresses aux méandres en quelques kilomètres. Comment expliquer un changement aussi radical ?
Les jonctions des réseaux génèrent l’essentiel des congestions régulières.
Il est aujourd’hui difficile d’ignorer les impacts néfastes de la congestion routière, rimant entre autres avec pollution et perte de temps. Afin de bien comprendre la formation des bouchons, il est nécessaire de se munir de modèles mathématiques aptes à reproduire des phénomènes observés en physique du trafic. En couplant ces modèles d’écoulements avec les modèles d’émissions de polluants, il est aussi possible d’estimer les nuisances environnementales du trafic. La modélisation mathématique donne également naissance à des outils numériques de simulation, permettant l’analyse de scénarios extrêmes de circulation. Cette analyse sera fiable si la théorie mathématique sous-jacente est assez avancée. Des progrès ont été récemment réalisés en ce sens.
T. Brooke Benjamin en 1993
Le jeune Brooke Benjamin (1929-1995) a longtemps hésité entre la musique et la science. Musicien précoce et très doué, aussi bien au piano qu’au violon, il composa un quintette avec piano à l’âge de 16 ans, dirigea orchestres et chœurs… Il choisit finalement les sciences, après des études d’ingénieur à l’université de Liverpool puis en mécanique des fluides à Cambridge. Devenu professeur à l’université d’Essex à Colchester, il y créa un groupe très dynamique de mathématiciens et d’expérimentateurs. Ses contributions fondamentales en mécanique des fluides mêlent ainsi avec élégance expériences et outils mathématiques les plus abstraits.
Carlo Giuseppe Matteo Marangoni (1840-1925).
Carlo Marangoni (1840-1925) était un physicien italien, né un 29 avril à Pavie. Après avoir travaillé quelques années comme assistant au Musée de physique et d’histoire naturelle de l’Institut d’études supérieures de Florence, il fut nommé professeur au lycée Dante à Florence, jusqu’à sa retraite en 1916. Très apprécié de ses élèves, à qui il savait donner le goût des sciences, il développa le laboratoire de physique en l’enrichissant d’instruments que l’on peut encore voir aujourd’hui. Il eut un fils, Matteo, qui devint un fameux critique d’art. Marangoni (le père) était intéressé par la nature sous toutes ses formes : les plantes et leur sève, les arbres et les problèmes liés à la déforestation, la météorologie, les nuages et la grêle, dont il essaya en vain d’expliquer la formation.
Glacier Mittag-Leffler, Svalbard (Norvège)
Les données paléoclimatiques (relevant des climats anciens), obtenues par l’analyse de carottes glaciaires, montrent que la Terre a connu sept glaciations majeures lors des 700 000 dernières années. Elles sont apparues avec une remarquable régularité, environ tous les 90 000 ans. C’est le scientifique écossais James Croll qui proposa le premier une explication de cette régularité : celle-ci serait due à des variations (quasi-)périodiques des paramètres orbitaux de la Terre, qui influencent l’insolation et donc le climat. Le mathématicien et astronome serbe Milutin Milankovic développa cette théorie entre 1912 et 1942, effectuant de longs calculs des variations de l’orbite terrestre.
Les nouvelles techniques d’imagerie du cerveau, telle que l’imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (ci-dessus), permettent de mieux visualiser les activités cérébrales.
Notre cerveau est un organe à la fois crucial et éminemment complexe. L’imagerie médicale permet de mieux l’appréhender, de mieux en comprendre la structure interne, la topographie et les relations entre ses différentes régions. Plusieurs techniques d’imagerie médicale, complémentaires les unes des autres, ont été mises au point et les mathématiques ont joué un rôle significatif dans ce défi scientifique et technologique.
Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya (Ladyjenskaïa dans la transcription en français) fait partie des plus grands mathématiciens du 20ème siècle. C’est une figure marquante par la profondeur de ses contributions, mais aussi par une vie hors du commun. Elle est née le 7 mars 1922 à Kologriv, une petite ville du nord de la Russie, et décédée le 12 janvier 2004, à Saint-Pétersbourg. Son grand-oncle, Gennady Ladyzhensky, était un peintre reconnu dont elle était très proche et dont elle a gardé précieusement les paysages de la rivière Ounja. Son père Alexander Ivanovich, professeur de mathématiques dans un lycée, avait décidé de s’occuper lui-même de la formation mathématique de ses trois filles.
Mais en octobre 1937, Alexander Ivanovich est arrêté puis abattu par le NKVD. La situation familiale devient alors très délicate mais la famille parvient à subsister grâce aux efforts de la mère et de la soeur ainée d’Olga. Brillamment reçue aux examens de l’Université de Leningrad en 1939, Olga ne peut s’y inscrire, son père étant alors considéré comme traître à la Nation (il sera réhabilité après le discours de Khrouchtchev en 1956). À la fin de la guerre, elle parvient à s’inscrire à l’Université de Moscou, avant de rejoindre Leningrad, où elle soutient sa thèse et commence sa carrière académique.
Les dates de vendanges permettent de reconstituer les climats passés.
Reconstruire les variations de températures à l’échelle de la planète avant le 20ème siècle est un défi relevé par des dizaines d’équipes de climatologues à travers le monde. Ce défi relève de deux motivations : comprendre les climats du passé et placer l’évolution actuelle dans une perspective à long terme.
Il y a très peu de mesures de température fiables avant le 20ème siècle (et aucune avant l’invention du thermomètre par Galilée au milieu du 17ème siècle). On a alors recours à des indicateurs historiques (dates de vendanges), biologiques (cernes d’arbres), physiques ou géochimiques (isotopes mesurés dans des sédiments) du climat. On appelle ces indicateurs des proxys.
