Richard Bellman et la programmation dynamique

Dyke

Richard Bellman (1920-1984).

Richard Bellman est né le 26 août 1920 à New York. À la fin de ses études universitaires à Baltimore, il est d’abord instructeur des armées avant d’être affecté  au projet Manhattan  entre 1944 et 1946. Il prépare ensuite une thèse sur les équations différentielles à Princeton sous la direction de Lefschetz et commence une carrière académique. Attiré par la théorie des nombres, il est aussi séduit par les défis mathématiques posés par les applications.

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Des équations pour les vagues

Une vague de surf à Maverick en Californie.

Pour illustrer la notion d’onde, les vagues sont certainement l’exemple le plus intuitif. Il est pourtant loin d’être le plus simple : le sillage d’un canard, la propagation d’un tsunami traversant l’Océan Indien, les vagues scélérates capables de détruire des supertankers, les célèbres déferlantes de Hawaï ou les mascarets remontant les fleuves sont tous décrits par les mêmes équations. Des équations si complexes que les physiciens et mathématiciens cherchent toujours à en percer les mystères. Lire la suite

Estimer les effectifs des populations animales naturelles

Mouette rieuse Chroicocephalus ridibundus. Plus de 50 000 individus ont été bagués depuis 1976 dans le cadre d’une étude démographique à long terme de la population de mouettes rieuses nichant dans la plaine du Forez (Loire).

Les variations des effectifs des populations animales sont un vif sujet d’intérêt pour les sociétés humaines. On peut citer par exemple les stocks de poissons marins ou les populations de moustiques porteurs de maladies. Le développement de certaines populations peut conduire à des situations de conflit, c’est le cas pour le retour du loup en France et les interactions problématiques avec les éleveurs, et pour l’augmentation des dégâts dans les cultures céréalières par les sangliers. La mise en œuvre d’une gestion ou d’une régulation de telles populations doit se baser sur des connaissances appropriées, et en particulier sur des estimations des effectifs  et de leur évolution. Cependant, un recensement complet est impossible car tous les individus ne peuvent être observés, notamment s’ils sont mobiles et discrets comme le loup. On recourt alors le plus souvent à des méthodes d’échantillonnage d’individus marqués ou reconnaissables (par leur pelage, leur ADN…) et à des outils de modélisation appropriés pour obtenir des estimateurs, dans le cadre de qu’il est convenu d’appeler les « méthodes de capture-recapture ».

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La planète Terre : notre unité de mesure

Planète

La Terre vue d’Apollo 17

Avant la Révolution française, on mesurait les longueurs en doigts, pieds, toises, aunes etc. L’une des difficultés était que ces unités variaient d’une région à l’autre et bien sûr d’un pays à l’autre. Les révolutionnaires décidèrent de mettre de l’ordre dans tout cela. Ils créèrent le système métrique, qui nous est si familier aujourd’hui. Quelle unité choisir pour les longueurs ?

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Archimède et la taille de l’Univers

Archimède,
Domenico Fetti, 1620, Musée Alte Meister, Dresde (Allemagne).

« Il est des personnes, ô roi Gélon, qui pensent que le nombre des grains de sable est infini. Je ne parle point du sable qui est autour de Syracuse et qui est répandu dans le reste de la Sicile, mais bien de celui qui se trouve non seulement dans les régions habitées, mais encore dans les régions inhabitées. Quelques-uns croient que le nombre des grains de sable n’est pas infini, mais qu’il est impossible de lui assigner un nombre plus grand. Si ceux qui pensent ainsi se représentaient un volume de sable qui fût égal à celui de la terre, qui remplît toutes ses cavités, et les abîmes de la mer, et qui s’élevât jusqu’aux sommets des plus hautes montagnes, il est évident qu’ils seraient bien moins persuadés qu’il pût exister un nombre qui surpassât celui des grains de sable.
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Des instabilités tourbillonnantes

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Instabilité de Kelvin-Helmholtz dans l’atmosphère.

La dynamique des fluides regorge de phénomènes remarquables, à l’instar des étonnantes ondes solitaires se propageant sans déformation à la surface des canaux ou bien encore des ondes de choc qui se forment à l’avant des avions supersoniques et qu’on peut entendre au sol. Ces «ondes» correspondent en fait à des états stables du fluide (l’eau ou l’air) : elles ne sont pas sensiblement modifiées par les inévitables perturbations dues par exemple au vent à la surface de l’eau ou aux vibrations de l’avion. Il existe néanmoins des situations beaucoup moins stables.

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La petite formule de Tom

Thomas Bayes

Le révérend Thomas Bayes est né en Angleterre en 1701 ou 1702. Ministre du culte presbytérien, cet intellectuel non conformiste semble avoir mené une vie paisible de célibataire studieux, se passionnant pour la théologie, les sciences naturelles, la mécanique et les mathématiques. Son nom est aujourd’hui associé à une très élémentaire formule mathématique enseignée dans tout cours d’introduction au calcul des probabilités. Thomas Bayes n’aurait pas connu la célébrité qui est la sienne auprès des statisticiens du monde entier si, deux ans après sa mort, Richard Price, un de ses amis, n’avait décidé de fouiller ses archives pour en sortir un texte posthume – Essai en vue de résoudre un problème de la doctrine des sciences – qui sera publié après lecture devant la Royal Society en 1763.
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Prévoir l’électricité produite par nos énergies renouvelables

Turbulence derrière les éoliennes géantes de la ferme d’Horn Rev à l’ouest du Danemark.

Les énergies renouvelables sont en passe de devenir un complément essentiel aux moyens actuels de production d’énergie électrique. On retrouve de plus en plus d’éoliennes dans nos campagnes, de panneaux solaires sur les toits des maisons, des parkings ou des supermarchés, et bientôt de ces serpents de mer qui oscillent avec les forces des vagues de l’océan Atlantique. Même si ces types d’énergie sont vus comme vertueux vis-à-vis de l’environnement, car ils n’émettent pas de CO2, leur caractère variable et intermittent rend obligatoire l’utilisation de centrales qui ont la capacité de démarrer rapidement en cas de besoin énergétique fort et/ou de manque de production renouvelable. Malheureusement ces dernières sont celles basées sur les énergies fossiles, très polluantes donc.
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Où vont les nuages ?

Image satellite MSG canal infrarouge, système nuageux convectif.

Image satellite de densité de glace au Pôle Nord.

Pour suivre le parcours d’un nuage dans une séquence d’images, il devrait suffire d’en connaître le contour, n’est-ce pas ? Certes, mais c’est tout sauf simple !

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Des modèles stochastiques pour simuler le temps

La production agricole dépend beaucoup du climat.

La variabilité climatique naturelle, ou résultant du changement climatique dû aux émissions de gaz à effet de serre, a été identifiée comme un facteur clé pour un grand nombre d’activités humaines et pour de nombreux systèmes étudiés en écologie et en environnement.

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Paysages urbains équilibrés

Pékin vu du ciel

Pékin vu du ciel.

Les villes existent depuis l’aube de l’histoire. Elles se sont de plus en plus développées et, en ce début de 3ème millénaire, constituent l’un des aspects les plus importants du paysage de la planète. Des chercheurs de nombreuses disciplines se sont confrontés à la question de la naissance des structures urbaines, et les modèles mathématiques peuvent aussi contribuer à les appréhender.

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Sur la trace des éléphants de mer

ce qu'on verra quand on passe la souris


Harem d’éléphants de mer sur les îles Kerguelen.

L’éléphant de mer est un prédateur supérieur de l’Océan Austral qui parcourt l’océan durant plusieurs mois avant de revenir à terre. L’étude de ses trajectoires et de son comportement alimentaire est riche en enseignements sur l’environnement de la région. En posant des balises sur ces mammifères marins, les scientifiques peuvent enregistrer leur trajectoire durant leur séjour en mer. Sur la base de ces positions enregistrées, appelées données télémétriques, ils peuvent estimer l’effort et le succès de leur recherche alimentaire  et mettre en relation leur comportement dans ce domaine avec les conditions océanographiques qu’ils rencontrent sur leur trajet.

 

 

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Fourier et la température de la Terre

Joseph Fourier (1768-1830)

Joseph Fourier (1768-1830) était un orphelin issu d’une famille pauvre qui devint l’un des plus grands scientifiques de son temps. Élève de la première promotion de l’École Normale Supérieure (ou plutôt l’École normale de l’an III), remarqué par Legendre et Monge, il y suivit également les cours de Lagrange et Laplace (voir les brèves à venir à leur sujet) avant de s’embarquer pour l’expédition d’Égypte. À son retour il fut nommé préfet de l’Isère par Napoléon, destitué à la Restauration, et finit par s’installer à Paris, au début comme membre du « bureau de statistique » (ancêtre de l’INSEE, créé en 1800 et supprimé en 1812). Bien que parfois décrié par ses contemporains pour son manque de rigueur mathématique, Fourier fut élu à l’Académie des sciences et en devint même le Secrétaire perpétuel. Lire la suite

Regarder les tourbillons océaniques à la loupe

Deux tourbillons d’eau chaude de 100 km de diamètre se forment au nord du Gulf Stream. Le bleu correspond à de l’eau froide, le jaune et l’orange à des eaux plus chaudes.

La circulation océanique joue un rôle fondamental pour la vie marine (comme on l’a vu par exemple pour le bébé plancton) et certaines activités humaines telles que la navigation et la pêche. Pour décrire la façon dont les masses d’eau des océans se déplacent, il faut prendre en compte de multiples facteurs comme la rotation de la Terre, les courants à très grand échelle ainsi que les petites fluctuations provoquées par le vent. Parmi les phénomènes remarquables, certains tourbillons océaniques (aussi appelés vortex) s’étendent sur plusieurs dizaines de kilomètres et peuvent abriter des écosystèmes particulièrement intéressants. Comprendre qualitativement l’existence de ces tourbillons est un défi pour les mathématiciens.

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Nos petits-enfants connaîtront-ils le miro des Chatham ?

Miro de Chatham.

Déterminer si une espèce est « en danger » est une mission délicate, qui dépend souvent d’un grand nombre de critères. Doit-on déclarer une espèce viable tant qu’elle contient un certain nombre de représentants ? Tant qu’elle est représentée, même en petit nombre, dans suffisamment d’endroits différents ? Obtenir une réponse concrète à ces questions est complexe et la modélisation mathématique peut alors s’avérer être d’une grande aide.

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Archimède et l’Afrique

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Projection d’Archimède.
L’un des plus beaux textes mathématiques a été écrit il y a plus de 2 200 ans par un savant célèbre à cause… d’une baignoire. Archimède mêle sans cesse les problèmes abstraits et concrets. On dit même qu’il inventa des machines de guerre pour défendre sa ville, Syracuse, attaquée par les Romains. Même si un certain nombre de mathématiciens d’aujourd’hui font mine de l’ignorer, les mathématiques sont partout, y compris chez les militaires.

Il est reconnu pour sa force et son sens du travail

Gaspard-Gustave Coriolis, né à Paris le 21 mai 1792 et mort le 19 septembre 1843 aussi à Paris, est un mathématicien et ingénieur français.

La force de Coriolis occupe une place particulière dans l’inconscient collectif (avec de fausses idées reçues). On la doit à Gustave-Gaspard Coriolis (1792-1843), mathématicien reconnu par ses pairs, notamment par Augustin Louis Cauchy dont il fut un temps l’adjoint en qualité de répétiteur en Mathématiques à l’École Polytechnique de 1817 à 1830. Il signera, par exemple, quatre articles de mathématiques dans les deux premiers volumes du nouveau Journal de Mathématiques Pures et Appliquées fondé par Joseph Liouville en 1836: l’un donnant une méthode permettant de construire un
intégraphe (appareil qui trace la courbe intégrale d’une fonction), l’autre sur la chaînette d’égale résistance (forme prise par un fil pesant flexible inextensible suspendu entre 2 points, quand la masse linéique (c’est-à-dire, en pratique, l’épaisseur du fil) est proportionnelle à la tension), le troisième sur le calcul de la pression produite par les parois d’un canal dans lequel se meut un fluide incompressible et le dernier sur l’approximation d’une équation différentielle.

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Le Pêcheur de la Lune

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Le Crabe qui jouait avec la mer, illustration originale de R. Kipling.

« — Kun ? dit le Pêcheur de la Lune.

— Payah kun, dit le Doyen des Magiciens. Fais en sorte désormais de tirer la Mer deux fois par jour et deux fois par nuit à jamais afin que les pêcheurs de Malaisie n’aient pas à pagayer. »

Comme Kipling le raconte aux enfants, la Lune joue un rôle prédominant dans le phénomène des marées. Sa force d’attraction provoque deux renflements diamétralement opposés dans l’océan. Si on s’en tenait là, on pourrait affirmer que la marée basse se produit à peu près au même moment dans deux ports situés sur le même méridien. Or, c’est loin d’être le cas.

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Une tempête dans l’économie

ce qu'on verra quand on passe la souris

Les événements climatiques extrêmes (ici la tempête de 1999 à Angoulême) provoquent des dégâts aux lourdes conséquences économiques.

Aussi incongru que cela puisse paraître, comprendre les phénomènes climatiques extrêmes aide à stabiliser l’économie française. En effet, les catastrophes naturelles ont un impact non négligeable sur cette dernière. Les dommages matériels et humains se répercutent logiquement sur les compagnies d’assurances, comme en France via les assurances MRH (Multi Risques Habitation) et Cat Nat (Catastrophes Naturelles). Ce genre de catastrophes très intenses peut réellement mettre en péril les assureurs : prenons l’exemple du cyclone Andrew, qui a ravagé la Floride en 1992 et a causé la faillite de onze compagnies d’assurance.

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Pourquoi corriger les séries climatiques ?

Relevé météorologique au siècle passé.

Parmi les questions qui agitent les scientifiques à propos du changement climatique revient continuellement celle de la comparaison de la variabilité climatique actuelle avec celle du passé. A l’échelle du dernier millénaire, les mesures directes ne sont pas disponibles, il faut donc les reconstruire. Cependant, depuis le XIXèmesiècle, nous disposons de nombreuses longues séries d’observations instrumentales. Mais leur qualité doit être étudiée au préalable.

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